Operaciones entre Conjuntos

Conjunto:es la reunión de conjuntos diferenciales entre sí que se denominan elemento de conjunto. Se pueden diferenciar de dos formas: por extensión si se presenta la lista de uno o de todos los elementos que lo conforman, ejemplo: C={amarillo, azul, rojo} los colores de la bandera de colombia. Si se representa la consistencia a atributo común de los elementos que conforman el conjunto. Ejemplo: {x/x son los colores de la bandera colombiana} En este caso se utiliza la representación x/x para referirse a "x tal que x". La x representa cual quiera de las características.

Diagrama de Venn

Los Diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos cuyo fin es mostrar gráficamente la relación matemática o lógica que hay entre diferentes grupos de cosas (conjuntos).

En un Diagrama de Venn, el conjunto universo se representa por un rectángulo, y los conjuntos en su interior se representan por círculos.

Una representación genérica de lo que es un Diagrama de Venn se presenta en la siguiente figura, donde se representa un conjunto universo

U

, y dentro de éste un conjunto

A

Se llama vector de dimensión

n \,

a una tupla de

n \,

números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión

n \,

se representa como

\mathbb{R}^n

(formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector

\scriptstyle v

perteneciente a un espacio

\mathbb{R}^n

se representa como:

(left) $v = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)$ , donde $v \in \mathbb{R}^n$

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional

\mathbb{R}^3

ó bidimensional

\mathbb{R}^2

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:¹ ² ³

módulo: la longitud del segmento
dirección: la orientación de la recta
sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.⁴

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo

AB

, que indican su origen y extremo respectivamente.

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \,$

Componentes de un vector

Componentes del vector.

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por

\mathbf{i} \,

\mathbf{j}

\mathbf{k}

, paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

$\mathbf{a} = (a_x,a_y,a_z)$

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

$\mathbf{a} = a_x \, \mathbf{i}+ a_y \, \mathbf{j} + a_z \, \mathbf{k}$

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a_x, a_y, a_z, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, sonnúmeros reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{a} = [ a_x\ a_y\ a_z ]$

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

${\mathbf i} = [1\ 0\ 0],\ {\mathbf j} = [0\ 1\ 0],\ {\mathbf k} = [0\ 0\ 1]$

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector solo existen un número finito de componentes
diferentes de cero.

Suma de vectores[editar]

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.

Suma de vectores[editar]

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Suma de vectores sobre un mismo punto[editar]

La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción demomento de fuerza dados dos fuerzas

\scriptstyle \mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2

con puntos de aplicación

\scriptstyle \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2

se definen la fuerza resultante como el par:^{[cita requerida]}

$(\mathrm{P}_R,\mathbf{F}_R) = (\mathrm{P}_1,\mathbf{F}_1) \boxplus(\mathrm{P}_2,\mathbf{F}_2)$

Donde

\boxplus

es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación

\scriptstyle \mathrm{P}_R

es el punto de intersección de las rectas de acción de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

$(\mathrm{P}_R,\mathbf{F}_R) = (\mathrm{P}_R, \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2)$

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres vector

se escogen como representantes dos vectores tales que el extremode uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectoresobteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.